Коли у задачі відомі лише довжини трьох сторін трикутника, а жодного кута чи висоти не дано — не поспішайте панікувати. Тут на допомогу приходить формула Герона — простий і універсальний інструмент, який дозволяє знайти площу будь-якого трикутника, маючи лише його сторони. І зараз ми розберемося, як це працює на практиці.
Що таке формула Герона?
Формула Герона дозволяє обчислити площу трикутника за трьома сторонами, без потреби знати кути чи висоти. Цікавий факт: вона названа на честь давньогрецького математика Герона Александрійського, який жив у I столітті.
Ось як виглядає сама формула:
S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)]
де:
- S — площа трикутника;
- a, b, c — довжини сторін трикутника;
- p — півпериметр трикутника, який обчислюється за формулою: p = (a + b + c) / 2
Це означає, що спочатку потрібно знайти півпериметр, а потім підставити всі значення у формулу.
Важливо! Формула Герона працює лише за певних умов
Перед тим як підставляти сторони у формулу, переконайтеся, що з них дійсно можна утворити трикутник. Для цього має виконуватися нерівність трикутника: сума будь-яких двох сторін має бути більшою за третю.
Тобто:
- a + b > c
- a + c > b
- b + c > a
Покрокова інструкція як знайти площу трикутника за трьома сторонами
Щоб знайти площу трикутника за трьома сторонами:
- Перевірте, чи можна з цих сторін скласти трикутник, тобто чи виконується нерівність трикутника: a + b > c, a + c > b, b + c > a.
- Знайдіть півпериметр за формулою: p = (a + b + c) / 2
- Обчисліть площу трикутника підставивши усі відомі значення у формулу Герона: S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)]
Приклади обчислення площі
Приклад 1:
Нехай ми маємо трикутник зі сторонами 6 см, 8 см і 10 см.
- Обчислюємо півпериметр:
p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 - Підставляємо у формулу Герона:
S = √[12 × (12 – 6) × (12 – 8) × (12 – 10)]
S = √[12 × 6 × 4 × 2] = √576 - Відповідь:
S = 24 см²
Приклад 2:
Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см.
- Знаходимо півпериметр:
p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 - Підставляємо у формулу:
S = √[21 × (21 – 13) × (21 – 14) × (21 – 15)]
S = √[21 × 8 × 7 × 6] = √7056 - Відповідь:
S ≈ 84 см²
Приклад 3:
Сторони трикутника дорівнюють 9 см, 10 см і 17 см.
- Обчислюємо півпериметр:
p = (9 + 10 + 17) / 2 = 18 - Підставляємо у формулу Герона:
S = √[18 × (18 – 9) × (18 – 10) × (18 – 17)]
S = √[18 × 9 × 8 × 1] = √1296 - Відповідь:
S = 36 см²
Чому це зручно?
Формула Герона — надійний і універсальний інструмент, особливо у випадках, коли в задачі відомі лише довжини сторін трикутника, але відсутні кути чи висоти. Вона стане в пригоді учням, студентам, інженерам і навіть програмістам, які працюють з геометричними розрахунками.
