Формула дискримінанта: визначення та приклади розв’язання 

формула дискримінанта

Дискримінант — це слово, яке лякає багатьох учнів, але насправді воно є потужним і простим інструментом для розв’язання квадратних рівнянь. Якщо ви коли-небудь стикалися з рівнянням вигляду ax² + bx + c = 0, то точно знаєте, що дискримінант — ключ до розуміння його коренів. У цій статті ми пояснимо, що таке дискримінант, дізнаємось якою є формула дискримінанта, як його обчислювати та застосовувати, і чому він настільки важливий.

Дискримінант квадратного рівняння: формула та визначення

Дискримінант — це величина, яка допомагає визначити кількість і тип коренів квадратного рівняння, яке має вигляд ax² + bx + c = 0, де a ≠ 0. Його позначають літерою D. Формула дискримінанта є досить простою та має вигляд:

D = b² – 4ac

Де:

  • a — коефіцієнт при x²,
  • b — коефіцієнт при x,
  • c — вільний член.

Результат обчислення дискримінанта допомагає зрозуміти природу коренів квадратного рівняння:

  • Якщо дискримінант D > 0 — рівняння має два різні дійсні корені, які обчислюються за формулою: x₁ = (-b + √D) / 2a та x₂ = (-b – √D) / 2a
  • Якщо дискримінант D = 0 — рівняння має один (подвійний) дійсний корінь, який обчислюється за формулою x = -b / 2a
  • Якщо дискримінант D < 0 — рівняння не має дійсних коренів, але має два комплексних корені,  які обчислюються за формулою x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a

Як обчислювати дискримінант: приклади

Приклад 1 (де D > 0):

Припустимо, у нас є рівняння 2x² – 4x + 1 = 0. Для обчислення дискримінанта виконаємо наступні дії:

Визначимо коефіцієнти: a = 2, b = -4, c = 1.

Підставимо їх у формулу дискримінанта:
D = b² – 4ac = (-4)² – 4 × 2 × 1 = 16 – 8 = 8.

Отримуємо результат який вказує на те, що дискримінант дорівнює 8 (тобто D > 0 ) і це означає, що рівняння має два різні дійсні корені, які можна обрахувати за формулами: x₁ = (-b + √D) / 2a та x₂ = (-b – √D) / 2a

Приклад 2 (де D = 0):

Розглянемо рівняння 9x² – 12x + 4 = 0. Для обчислення дискримінанта виконаємо наступні дії:

Визначимо коефіцієнти: a = 9, b = -12, c = 4.

Підставимо їх у формулу дискримінанта:
D = b² – 4ac = (-12)² – 4 × 9 × 4 = 144 – 144 = 0.

Отримуємо результат, що дискримінант дорівнює 4 (тобто D = 0). Отже, робимо висновок, що рівняння має один дійсний корінь, який можна обчислити за формулою: x = -b / 2a

Приклад 3 (де D < 0):

Маємо рівняння x² + 4x + 5 = 0. Для обчислення дискримінанта виконаємо наступні дії:

Визначимо коефіцієнти: a = 1, b = 4, c = 5.

Обчислимо дискримінант за формулою:
D = b² – 4ac = 4² – 4 × 1 × 5 = 16 – 20 = -4.

Отримуємо результат дискримінанта -4 (тобто D < 0). Отже, робимо висновок, що рівняння не має дійсних коренів, а тільки два комплексні корені,  які обраховуються за формулою x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a.

Давайте для цього випадку обчислимо і корені даного рівняння:

x = (-b ± √D) / 2a
x = (-4 ± √(-4)) / 2 × 1
x = (-4 ± 2i) / 2
x₁ = -2 + i, x₂ = -2 – i.

Отже, це рівняння має два комплексних корені які записуються як: x₁ = -2 + i та x₂ = -2 – i.

Застосування дискримінанта

Дискримінант використовують не лише для розв’язання квадратних рівнянь. Він має широке застосування в багатьох галузях:

  1. Алгебра: Знаходження коренів поліномів і аналіз їхньої поведінки.
  2. Геометрія: Визначення положення параболи відносно осі x. Наприклад, якщо D < 0, парабола не перетинає вісь x.
  3. Фізика та інженерія: Моделювання руху об’єктів, наприклад, траєкторій тіл, що летять під кутом.

Цікаві факти про дискримінант

  • Формула дискримінанта вперше була описана в працях древніх математиків, хоча сучасного вигляду вона набула лише в 17 столітті.
  • Дискримінант можна застосовувати і до рівнянь вищого порядку, хоча обчислення стають складнішими.
  • Слово “дискримінант” походить від латинського “discriminare”, що означає “розрізняти”, адже він допомагає розрізняти типи коренів.

Поради для ефективного використання дискримінанта

  1. Завжди перевіряйте правильність визначення коефіцієнтів a, b, і c.
  2. Якщо дискримінант вийшов від’ємним, не забувайте, що корені будуть комплексними.
  3. Для спрощення обчислень використовуйте калькулятори або комп’ютерні програми, якщо числа великі чи складні.

Формула дискримінанта — це простий, але потужний інструмент, який відкриває багато можливостей для розв’язання квадратних рівнянь і аналізу їхніх коренів. Знання про дискримінант стане у пригоді як у шкільній математиці, так і в реальному житті. Тож не бійтеся цього терміну, адже за ним ховається лише ключ до математичних розв’язків!

Поширені запитання

Що таке дискримінант?

Дискримінант — це числовий показник у квадратному рівнянні, який визначається за формулою D = b² – 4ac. Він допомагає зрозуміти, скільки коренів має рівняння та якого вони типу: якщо D>0 — два різні корені, D = 0 — один корінь, а D < 0 — немає дійсних коренів (тільки комплексні).

Як знайти дискримінант?

Для того щоб знайти дискримінант, використайте формулу D = b² – 4ac, де а — коефіцієнт при x², b — коефіцієнт при x, c — вільний член.

Як знайти корінь, якщо дискримінант 0?

Якщо дискримінант дорівнює 0 — рівняння має один (подвійний) дійсний корінь, який обчислюється за формулою: x = -b / 2a